Sistem Bilangan

Sistem Bilangan adalah kode atau simbol yang digunakan untuk menerangkan sejumlah hal secara detail. Sistem bilangan dapat juga diartikan sebagai bahasa yang berisi satu set pesan simbol-simbol yang berupa angka dengan batasan untuk operasi aritmatika penjumlahan, perkalian dan yang lainnya.


 Dalam ilmu komputer, sistem bilangan dibagi menjadi empat, yaitu sistem bilangan desimal (berbasis 10), sistem bilangan oktal(berbasis 8), sistem bilangan biner(berbasis 2), dan sistem bilangan heksadesimal(berbasis 16). Sedangkan dalam ilmu matematika, terdapat suatu sistem bilangan yang disebut sistem bilangan real.


A. Pengertian Bilangan Real 

Bilangan riil atau bilangan real adalah sistem bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk desimal. Angka desimal adalah angka berbasis 10 yang dibentuk dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ahli matematika mendefinisikan notasi bilangan real sebagai simbol R.



B. Jenis-jenis Bilangan Real

1. Bilangan Rasional

Seperti penjelasan di atas, bilangan rasional adalah sistem bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b dengan a dan b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0.

Misalnya: 0; 23; 1,25; dan lain-lain.

2. Bilangan Irasional

Bilangan irasional adalah sistem bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b namun dapat ditulis dalam bentuk desimal.

Misalnya: π (phi) =  3,14159 26535 89793 … e (euler) =  2,7182818….



C. Sifat sifat Bilangan Real





Keterangan:

Tertutup: operasi perkalian dan penjumlahan bilangan real menghasilkan bilangan real.

Asosiatif: penjumlahan atau perkalian tiga buah bilangan real yang dikelompokkan secara berbeda mempunyai hasil yang sama.

Komutatif: pertukaran letak angka pada penjumlahan dan perkalian bilangan real mempunyai hasil sama.

Unsur identitas: operasi perkalian dan penjumlahan setiap bilangan real dengan identitasnya dapat menghasilkan bilangan real itu sendiri.

Mempunyai Invers: setiap bilangan real mempunyai invers terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, suatu bilangan real yang dioperasikan dengan invers menghasilkan unsur identitasnya.

Sifat Distributif: suatu penggabungan dengan kombinasi bilangan real dari hasil operasi terhadap elemen-elemen kombinasi tersebut Tidak ada pembagi nol: pembagian bilangan real dengan nol menghasilkan nilai tidak terdefinisi (∞).

BASIS
         
            Pengertian basis untuk ruang vektor V serupa dengan pengertian basis untuk Rn, yang telah kita kenal. Untuk mengenal basis, diperlukan pengertian membangun dan bebas linier. Pengertian membangun telah kita pelajari di materi sebelumnya yaitu kombinasi,bergantung, dan bebas linier . Dengan pengertian bebas linier, himpunan yang membangun V dapat diperkecil sedemikian mungkin sehingga himpunan yang baru tetap membangun V.



Andaikan V adalah sembarang ruang vektor dan S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan berhingga vektor-vektor pada V, S dikatakan basis untuk ruang V jika :

-S bebas linier
-S membangun V

Contoh :
Selidikilah apakah ruang vektor S berikut ini membentuk basis!



Syarat suatu ruang vektor membentuk basis adalah ruang tersebut harus bebas linear. Untuk menentukan bebas tidaknya, kita dapat menggunakan determinan.



Dapat kita lihat bahwa det=3, itu artinya vektor diatas bebas linear. Jika bebas linear berarti vektor diatas juga membentuk basis.

DIMENSI

Tentukan basis dan dimensi dari vektor berikut ini :
U={1,2,3} V={4,9,2} W={4,4,4} << dimensinya ada 3 (kan ketiganya bebas linear) jadi basisnya {U,V,W}
V={2,4,6}  W={4,8,12} X={2,1,2} << dimensinya ada 2 (kan yang V sama W itu bergantung linear :D) basisnya {V,X} atau {W,X}
A={2,1,1} B={4,2,2} C={6,3,3} << dimensinya ada 1(semuanya kan bergantung linear :D) basisnya ya {A}atau {B} atau {C}..

1. KOMBINASI LINEAR

Definisi
Vektor V dikatakan merupakan kombinasi linier dari vektor – vektor v1, v2,…,vn bila w bisa dinyatakan sebagai :
                                w = k1v1 + k2v2 + … + knvn , dengan k1,k2,…,kn adalah skalar.

TEOREMA
Himpunan semua kombinasi linear dari sembarang himpunan vektor-vektor yang tidak kosong dari V adalah suatu ruang bagian dari

CONTOH SOAL KOMBINASI LINEAR

Diketahui a = (1, 2), b = (-2, -3), dan c = (1, 3). Apakah c merupakan kombinasi linear dari a dan b?

Jawab:
Misalkan c merupakan kombinasi linear dari a dan b maka dapat ditentukan dengan c = k1a + k2b
(1, 3) = k1(1, 2) + k2(-2, -3)
(1, 3) = (1k1, 2k1) + (-2k2, -3k2)
Maka dapat dinyatakan 1 = k1 – 2k2 dan 3 = 2k1 – 3k2 Sehingga diperoleh pengenyelesaian k1 = 3 dan k2 = 1
Jadi c merupakan kombinasi linear dari a dan b, dan dinyatakan dengan c = 3a + b

2. KEBEBASAN LINEAR





Jika himpunan S hanya beranggotakan satu vektor, maka himpunan S dikatakan bebas linear jika dan hanya jika vektor tersebut bukan vektor nol.


Pada umumnya, cara yang paling efisien untuk mengecek apakah suatu himpunan bebas linear atau tidak adalah menggunakan teorema berikut.









Karena nilai determinannya nol, maka dapat disimpulkan bahwa himpunan S bergantung linear.

Basis Ruang Vektor

definisi : Generalisasi ruang vektor suatu sistem koordinat pada ruang berdimensi 2 dan 3.
koordinat : Koefisien-koefisien pada basis V.

Jika V adalah suatu ruang vektor sebarang dan S = {v1 , v2, .... , vn} adalah himpunan vektor-vektor pada V, maka S disebut basis untuk V jika dua syarat berikut berlaku :

>S bebas linier
>S merentang V

Basis dari ruang vektor itu tidak harus tunggal tetapi bisa lebih dari satu basis. S itu termasuk bebas linear atau linear independent. Maksudnya adalah bilangan-bilangan yang termasuk di dalam A harus bebas linier atau dengan kata lain tidak boleh berkelipatan dengan himpunan yang lain.

Tetapi ada kalanya bagaimana jika kirta menemukan dua himpunan vektor atau lebih yang berkelipatan. kondisi seperti ini disebut beragantung linier.

Tetapi suatu himpunan bisa juga disebut bergantung linier jika terdapat himpunan vektor yang anggotanya mengandung nol. Jika ini terjadi berarti kedua himpunan tersebut bukan bersifat bebas linier dan berarti tidak dapat diesebut basis.

CONTOH:

Selidiki dan tentukan apakah himpuan vektor-vektor dibawah ini bebas linier atau bergantung liner?

>A={2,2,3} dan B = {3,1,2}
>B = {2,3,4} dan C = {4,6,8}
>U = {1,2,3} V = {2,3,7} dan W {0,0,0}

JAWAB

a. Himpunan vektor ini termasuk bebas linier karena semua anggota himpunannya tidak berkelipatan.
b. Himpunan vektor ini disebut bergantung linier kareba semua anggota himpunannya berkelipatan satu sama lain yaitu C=2B.
c. Jika ada himpunan yang mengandung nol berarti disebut bergantung linier walaupun himpunan lain bebas linier tetapi jika ada himpunan yang mengandung nol tetap disebut bergantung linier.

Selain itu juga, untuk membuktikan apakah vektor-vektor tersebut adalah bebas linier dan membangun, anad cukup dengan melakukan OBE dengan ketentuan:

>Membangun jika memiliki setidaknya satu solusi
>Bebas linier apabila memiliki solusi tunggal.

CONTOH 2

Himpunan vektor-vektor, dimana v1=(2, -1, 0, 3) v2=(1, 2, 5, -1) dan v3(7, -1, 5, 8) adalah himpunan tak bebas linier, karena 3v1 + v2 - v3 =0

RUANG BAGIAN

           Pandang  V suatu Ruang Vektor.  W  himpunan  bagian  dari  V,W  (misalnya  dengan suatu  sifat  khusus)  memenuhi semua  aksioma  Ruang  Vektor,  sehingga  merupakan  Ruang Vektor tersendiri, maka W kita sebut Ruang Vektor Bagian (Subspace) dari V.

       
           Kadang kadang dihilangkan kata “Bagian” dan menyebutnya dengan “ruang vektor di V”, atau pula “ruang bagian dari V”

Contoh1:
             Pandang R3 dengan  susunan Cartesian dimana   X,   Y,   Z  adalah sumbu-sumbu koordinatnya.  Himpunan  vektor-vektor  pada  bidang  XOY  merupakan  ruang  vektor  bagian dari R3.Dapat mudah dipahami bahwa komponen ketiga dari setiap vektor pada XOY adalah = 0. Atau;                                           XOY = { (x,y,0|x ∈R, y ∈R }
         
            Contoh  anggota  XOY  adalah a=  [1,1,0],b=[0,1,0],   c  = [2,3,0],  0  =  [0,0,0],  dan lain-lain. Jelas bahwa tidak semua vektor є R3merupakan  anggotaXOY.  Kemudian  mudah ditunjukkan bahhwa XOY memenuhi  semua aksioma  Ruang Vektor.

Untuk menentukan  apakah  W  merupakan  ruang  bagian,  cukup  dengan memeriksa  sebagai  berikut  :

(C1)   W # ∅  ( W tidak hampa), untuk itu kita tunjukkan bahwa vektor 0 ∈W.

(C2)    Untuk setiap  a, b ∈W  maka  A + B ∈W

(C3)Untuk seiap  a ∈W  dan  α є K (skalar)maka  αa ∈W. Maka W adalah ruang vektor bagian dari  V.

             Ketiga  syarat  (C1),  (C2)    dan  (C3)  itu  cukup.    Karena  bila    W ∁V, aksioma  ruang  vektor kecuali  (B1),  (B4)    dan  (B5)  terpenuhi.  Syarat  (C2)  dan  (C3)    dapat  menggantikan  (B1). Sedang (C1) yaitu  W  tidak hampa, berarti terdapat u ∈W dan karena (C3) terpenuhi 0u = 0 ∈W,  (-1)u = -(1u) = -(1u) = -u ∈W. Berarti  (B4)  dan (B5)  terpenuhi.

Nilai Eigen adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran n x n, sementara vektor Eigen adalah vektor kolom bukan nol yang bila dikalikan dengan suatu matriks berukuran n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor eigen itu sendiri. Hal ini berlaku untuk matriks dengan elemen berupa bilangan kompleks. Untuk setiap nilai eigen ada pasnagan vektor eigen. Nilai Eigen dan Vektor Eigen berguna dalam proses kalkulasi matriks, dimana keduanya dapat diterapkan dalam bidang matematika murni dan terapan seperti transformasi linier.

Perhatikan gambar berikut :











Contoh Soal Matriks Ordo 2 x 2 :

 

Jawab:

















NialContoh Soal Matriks Ordo 3 x 3 :



Jawab :






Kemudian untuk mencari nilai eigen, kita gunakan metode horner sebagai berikut :












Berikut Vektor Eigen :

A.     DEFINISI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Nilai Eigen () adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran n x n, sementara vektor Eigen () adalah vektor kolom bukan nol yang bila dikalikan dengan suatu matriks berukuran n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor Eigen itu sendiri. Definisi tersebut berlaku untuk matriks dengan elemen bilangan real dan akan mengalami pergeseran ketika elemen berupa bilangan kompleks. Untuk setiap nilai Eigen ada pasangan vektor Eigen yang berbeda, namun tidak semua persamaan matriks memiliki nilai Eigen dan vektor Eigen. Nilai Eigen dan vektor Eigen berguna dalam proses kalkulasi matriks, di mana keduanya dapat diterapkan dalam bidang Matematika murni dan Matematika terapan seperti transformasi linear.

Kumpulan pasangan nilai dan vektor Eigen dari suatu matriks berukuran n x n disebut sistem Eigen dari matriks tersebut. Ruang Eigen dari  merupakan kumpulan vektor Eigen yang berpasangan dengan  yang digabungkan dengan vektor nol. Istilah Eigen seringkali diganti dengan istilah karakteristik, di mana kata ‘’’Eigen’’’ yang berasal dari bahasa Jerman memiliki arti ‘’asli’’ dalam konteks menjadi ciri khas atau karakteristik dari suatu sifat.

Aturan Cramer untuk Sistem 3 × 3
Aturan Cramer dapat diperluas untuk sistem persamaan linear 3 × 3, dengan menggunakan pola yang sama dengan sistem 2 × 2. Diberikan sistem umum 3 × 3,



Sistem 3 x 3
Solusi-solusi dari sistem tersebut adalah x = Dx/D, y = Dy/D, dan z = Dz/D, dimana Dx, Dy, dan Dz dibentuk dengan mengganti koefisien variable-variabel yang bersangkutan dengan konstanta, dan D adalah determinan dari matriks koefisien (D ≠ 0).

Penerapan Aturan Cramer untuk Sistem 3 × 3

Diberikan suatu sistem persamaan linear 3 × 3



Sistem 3 x 3 Rumus
Solusi dari sistem tersebut adalah (x, y, z), dimana
x, y, z



dengan syarat D ≠ 0.


CONTOH

  



Menyelesaikan SPL menggunakan Metode Crammer

X1 = det (A1) / det (A)
X2 = det (A2) / det (A)
Xn = det (An) / det (A)

Dimana Aj adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan entri-entri dalam kolom ke – j dari A dengan entri – entri dalam matriks koefisien B.


Contoh :

gunakan aturan cramer untuk memecahkan SPL berikut :
-x1   +  x2   +  2x3  = -5
2x1  -   x2   +  x3    =  1
x1    +  x2     -   x3    =  5
jawab :
bentuk matriks yang ekuivalen dengan SPL tersebut adalah :



Dalam matrik A diperoleh det (A) dan det (Aj) dengan cara sarrus :

Det A = {(-1).(-1).(-1)+  1.1.1 + 2.2.1 } – { 1.(-1).2 + 1.1.(-1) + (-1).2.1}
  ={ (-1  + 1 + 4) – (-2 +  (-1) + (-2)}    = { 4 – (-5)}    ={ 4 + 5}      = 9
Det A1 =


 Det A1 = ( -5 + 5 + 2 ) – (-10  +  (-5)  +  (-1) ) = 2 + 16 = 18
Det A2=


 Det A2= (1 – 5 +20 ) – ( 2 + (-5) + 10 ) = 16 -7 = 9
Det A3=


 Det A3= ( 5 + 1 + (-10) – ( 5 + (-1) + 10 ) = -4 -14 = -18

Sehingga diperoleh :
X1= Det (A1 )/ Det (A)  = 18 /9 = 2
X2 = Det (A2 )/ Det (A) = 9 / 9 = 1
X3 = Det (A3 )/ Det (A) = -18 / 9 = -2
Jadi pemecahan untuk SPL  tersebut adalah :
                                 X1= 2  ,       X2=  1  ,         X3= -2