Basis dan Dimensi

BASIS
         
            Pengertian basis untuk ruang vektor V serupa dengan pengertian basis untuk Rn, yang telah kita kenal. Untuk mengenal basis, diperlukan pengertian membangun dan bebas linier. Pengertian membangun telah kita pelajari di materi sebelumnya yaitu kombinasi,bergantung, dan bebas linier . Dengan pengertian bebas linier, himpunan yang membangun V dapat diperkecil sedemikian mungkin sehingga himpunan yang baru tetap membangun V.



Andaikan V adalah sembarang ruang vektor dan S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan berhingga vektor-vektor pada V, S dikatakan basis untuk ruang V jika :

-S bebas linier
-S membangun V

Contoh :
Selidikilah apakah ruang vektor S berikut ini membentuk basis!



Syarat suatu ruang vektor membentuk basis adalah ruang tersebut harus bebas linear. Untuk menentukan bebas tidaknya, kita dapat menggunakan determinan.



Dapat kita lihat bahwa det=3, itu artinya vektor diatas bebas linear. Jika bebas linear berarti vektor diatas juga membentuk basis.

DIMENSI

Tentukan basis dan dimensi dari vektor berikut ini :
U={1,2,3} V={4,9,2} W={4,4,4} << dimensinya ada 3 (kan ketiganya bebas linear) jadi basisnya {U,V,W}
V={2,4,6}  W={4,8,12} X={2,1,2} << dimensinya ada 2 (kan yang V sama W itu bergantung linear :D) basisnya {V,X} atau {W,X}
A={2,1,1} B={4,2,2} C={6,3,3} << dimensinya ada 1(semuanya kan bergantung linear :D) basisnya ya {A}atau {B} atau {C}..